אקסיומה

אַקְסיּוֹמָה (בכתיב ארכאי: אכּסיוֹמה) היא הנחה אשר מתייחסים אליה כנכונה וכמובנת מאליה. מקור המילה "אקסיומה" הוא מיוונית עתיקה (αξιωμα), ופירושה "עיקרון מובן מאליו", שאינו מצריך הוכחה.

במתמטיקה ובלוגיקה, אקסיומה היא הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה. טעות נפוצה היא שאקסיומות הן "אמת אינטואיטיבית ובסיסית הברורה מאליה", אולם אקסיומות אינן מחייבות ניסוח שכזה, אלא רק סיפוק הנחת יסוד אשר עליה אין מנסים לערער (שכן מדובר בקביעה). השילוב בין מספר אקסיומות נקרא מערכת אקסיומטית. מערכת האקסיומות של תורה מתמטית מהווה בסיס להוכחה של המשפטים הנכללים בתורה זו.

בפיזיקה, אקסיומה או פוסטולט היא הנחה בסיסית אשר נבדקה בניסוי, ולכן מתייחסים אליה כנכונה, כל עוד אותה ההנחה לא הופרכה בניסוי, כלומר לא התבררה כשגויה.

אקסיומות במתמטיקה

כדי שמערכת אקסיומות תהווה בסיס נאות לפיתוחה של תורה מתמטית, עליה למלא שתי דרישות:

  • עקביות: לא ניתן להוכיח בעזרת האקסיומות דבר והיפוכו.
  • מינימליות: במערכת האקסיומות אין אקסיומה מיותרת, כזו שאפשר להוכיח באמצעות האקסיומות האחרות.

קיום מודל של מערכת האקסיומות מוכיח שהיא עקבית. בדומה לזה, קיום מודל לכל האקסיומות פרט לאחת שדווקא אינה מתקיימת, מראה שאותה אקסיומה אינה ניתנת להשמטה; אם יש מודל כזה עבור כל אחת מהאקסיומות, הרי שהמערכת מינימלית.

דרישה סבירה נוספת היא דרישת השלמות, כלומר הדרישה שבאמצעות מערכת האקסיומות של תורה כלשהי ניתן יהיה להוכיח או להפריך כל טענה שניתן לנסח במסגרת תורה זו. משפטי האי-שלמות של גדל מוכיח שבכל מערכת עשירה מספיק של אקסיומות לא ניתן לקיים דרישה זו מבלי לוותר על דרישת העקביות.

המפגש הראשון (ופעמים רבות גם האחרון) של התלמיד עם מערכת אקסיומטית נעשה במסגרת לימודי הגאומטריה. האקסיומה המפורסמת במסגרת זו היא אקסיומת המקבילים. הניסיונות להוכיח אקסיומה זו על ידי יתר האקסיומות של הגאומטריה הביאו ליצירתה של גאומטריה לא-אוקלידית. פריצת דרך זו הראתה שהאקסיומות אינן בגדר טענות "מובנות מאליהן", אלא ניתן להחליף אקסיומה אחת באחרת, ובכל זאת לקבל מערכת אקסיומות עקבית.

אף שרעיון האקסיומה הוא מאבני היסוד של המתמטיקה, התפתחו ענפי מתמטיקה רבים ללא ביסוס אקסיומטי כלל, או עם בסיס אקסיומטי רופף. בשלהי המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20 עסקו המתמטיקאים באינטנסיביות בביסוס אקסיומטי של המתמטיקה, ונבחנו היטב מערכות האקסיומות שבבסיס הגאומטריה (מערכת האקסיומות של הילברט), האריתמטיקה (האקסיומות של פאנו) ותורת הקבוצות (האקסיומות של צרמלו-פרנקל). רק בשנת 1933 ניתן בסיס אקסיומטי לתורת ההסתברות (האקסיומות של קולמוגורוב).

Other Languages
English: Axiom
Alemannisch: Axiom
አማርኛ: እሙን
aragonés: Axioma
asturianu: Axoma
azərbaycanca: Aksiom
беларуская: Аксіёма
беларуская (тарашкевіца)‎: Аксіёма
български: Аксиома
brezhoneg: Aksiom
bosanski: Aksiom
català: Axioma
čeština: Axiom
dansk: Aksiom
Deutsch: Axiom
Ελληνικά: Αξίωμα
Esperanto: Aksiomo
español: Axioma
eesti: Aksioom
euskara: Axioma
فارسی: اصل (منطق)
suomi: Aksiooma
français: Axiome
Nordfriisk: Aksiom
Gaeilge: Aicsím
Gàidhlig: Aicseam
galego: Axioma
हिन्दी: अभिगृहीत
Fiji Hindi: Axiom
hrvatski: Aksiom
magyar: Axióma
Հայերեն: Աքսիոմա
Bahasa Indonesia: Aksioma
Ido: Axiomo
íslenska: Frumsenda
日本語: 公理
ქართული: აქსიომა
қазақша: Аксиома
한국어: 공리
Кыргызча: Аксиома
Latina: Axioma
Limburgs: Axioma
lietuvių: Aksioma
latviešu: Aksioma
олык марий: Аксиомо
македонски: Аксиома
монгол: Аксиом
Bahasa Melayu: Aksiom
नेपाल भाषा: एक्जियम
Nederlands: Axioma
norsk nynorsk: Aksiom
norsk: Aksiom
Novial: Axiome
occitan: Axiòma
ਪੰਜਾਬੀ: ਤਤਸਮਕ
polski: Aksjomat
پنجابی: منیا پرمنیا
português: Axioma
română: Axiomă
русский: Аксиома
русиньскый: Аксіома
саха тыла: Аксиома
sicilianu: Assioma
Scots: Axiom
srpskohrvatski / српскохрватски: Aksiom
Simple English: Axiom
slovenčina: Axióma
slovenščina: Aksiom
shqip: Aksioma
српски / srpski: Аксиома
svenska: Axiom
தமிழ்: மெய்கோள்
тоҷикӣ: Аксиома
Türkçe: Belit
українська: Аксіома
oʻzbekcha/ўзбекча: Aksioma
vèneto: Asioma
Tiếng Việt: Tiên đề
Winaray: Aksyoma
ייִדיש: אקסיאם
中文: 公理
文言: 公理
Bân-lâm-gú: Kong-siat
粵語: 公理