אקסיומת המקבילים

אקסיומת המקבילים היא האחרונה מבין 5 ההנחות בספרו של אוקלידס, "יסודות", שבו פיתח את הגאומטריה האוקלידית מעקרונות היסוד שלה. האקסיומה ידועה גם בשם "האקסיומה החמישית של אוקלידס".

"אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד, הם ייפגשו"

אוקלידס ניסח את האקסיומה החמישית כך:

אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו.

טענה זו שקולה לניסוח המקובל של האקסיומה, הקובע כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון".

האקסיומה אצל אוקלידס

ספרו של אוקלידס "יסודות" מתחיל מהגדרת ישויות גאומטריות בסיסיות ולאחריהן מופיעות 5 הנחות על גופים אלו. ארבע הראשונות הן:

  • דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע.
  • כל קטע אפשר להמשיך ללא גבול כקו ישר.
  • בהינתן קטע ישר, ניתן להעביר מעגל שמרכזו בנקודת קצהו האחת, ורדיוסו שווה לקטע הנתון.
  • כל הזוויות הישרות חופפות זו לזו.

ההנחה החמישית, היא אקסיומת המקבילים, בולטת בין שאר ההנחות של הגאומטריה האוקלידית באורכה ובמורכבותה. רמז לכך שאוקלידס עצמו הסתייג ממנה ניתן למצוא בכך שהוא מוכיח את עשרים ושמונה הטענות הראשונות ב"יסודות" בלי להזדקק לה.

בשנת 1752 ראתה אור מהדורה[1] שחילקה את האקסיומות באופן מעט שונה, והיא שהייתה בידיהם של מדעני המאה ה-19. לפי מהדורה זו נמנו שלושה הנחות (פוסטולטים) ו-11 אקסיומות. אקסיומת המקבילים מופיעה כאקסיומה ה-11. בשל כך נקראת לעתים אקסיומת המקבילים בספרות המאה ה-19 "האקסיומה ה-11"[2][3]