אריתמטיקה

האריתמטיקה והרטוריקה - שתיים מבין שבע האמנויות החופשיות. פסלם של ניקולא פיזאנו וג'ובאני פיזאנו, פונטנה מאג'ורה, פרוג'ה.

אריתמטיקה (מהמילה היוונית: αριθμός - אריתמוֹס, שמשמעותה מספר) היא הענף העתיק והבסיסי ביותר במתמטיקה, וידועה גם בשם "חשבון". זהו החלק היסודי בלימוד המתמטיקה, הוא משתלב ביתר ענפי המתמטיקה וחיוני להבנתם. עקרונות האריתמטיקה הבסיסיים, המבוססים על ארבע פעולות החשבון וסדר בין מספרים, משמשים כל אדם מודרני לצורך ביצוען של משימות יום-יומיות פשוטות כגון הכנת מזון ותכנון כלכלת הבית. לאריתמטיקה המתקדמת ולתחומים הקרובים אליה, הכוללים פעולות מתמטיות מורכבות יותר, יש שימוש רב בתחומי המדע, ההנדסה והטכנולוגיה השונים.

גבולותיו של ענף מתמטי זה אינם תחומים באופן חד, והם השתנו במרוצת השנים. במובנה המצומצם, המילה מתייחסת לענף במתמטיקה העוסק במספרים שלמים ובתכונותיהם, כמו ראשוניות וכדומה. מתמטיקאים משתמשים לעתים במונח 'אריתמטיקה'[1] כתחליף לתורת המספרים, גם במובנה הרחב.

היסטוריה

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – היסטוריה של האריתמטיקה
עצם אישנגו - ממצא המתוארך לתקופה שלפני 20–22 אלף שנה, ומעיד על רמתו המתמטית של האדם בתקופה זו.
הספרות הבבליות – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים.
כריכת ספרו של דיופנטוס "אריתמטיקה" משנת 1621 בתרגום ללטינית.

כבר בתקופה הפרהיסטורית, בני האדם החלו להבין את רעיונות המספר והחישוב, כנראה בעקבות הצורך בהגדרת בסיס להכללת עצמים. האדם החל לפתח במוחו דרכים לחישוב יעיל ופשוט והשתמש באצבעותיו כדי לייצג עצמים ולספור אותם[2]. בתקופה זו חלה נקודת מפנה חשובה, כאשר האדם תפס לראשונה את החישובים שלו כ"מקרים פרטיים" - חלק מאוסף כללים אוניברסליים, שחלים על כל פעולה אריתמטית שיבצע, בכל צורה. בכך החל האדם לתפוס כיצד לחשב בצורה יעילה יותר (נראה שהבנה זו התקבלה רק כאשר העביר האדם את חישוביו אל אמצעי עזר, כגון ספירת עצמים מוחשיים וכתב[3]). מאז, התפתחה האריתמטיקה ועברה שכלולים רבים עד לגלגולה המודרני.

המצרים הקדומים היו הראשונים שביצעו פעולות מורכבות בתחום האריתמטיקה. כבר בראשית האלף ה-3 לפנה"ס לערך, פיתחו המצרים גרסה ראשונית של השיטה העשרונית, כשהיא נכתבת בצורה חיבורית, שבה סדר הגורמים איננו משנה את המספר. הספרות המצריות שילבו כתב יתדות עבור הספרות 1-9 והשתמשו בציורי הירוגליפים עבור שאר הגדלים בהם השתמשו[4]. אחר כך עברו המצרים לשיטה יעילה יותר, שצמצמה את מספר הספרות שאותו היו צריכים לחרוט, אך חסרונה היה מספר הספרות הגדול, שהקשה על זכירת השיטה, והגביל אותה לאלו שהוכשרו במיוחד. כמו כן, תרמו המצרים להתפתחות השברים. ישנם מספר ממצאים, כמו פפירוס מוסקבה (1850 לפנה"ס) ופפירוס רינד (1650 לפנה"ס), המעידים על יכולת פתרון משוואות לינאריות וריבועיות, אך בכל הממצאים הללו ניכר כי המצרים ראו באריתמטיקה מדע שימושי, ותו לא.

שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה לשיטה העשרונית בימינו, כאשר בסיס הספירה הוא 60. בסיס זה השפיע רבות על חיינו - אנו סופרים 60 שניות בדקה ו-60 דקות בשעה, ומחלקים את המעגל ל-360 מעלות. ישנן עדויות המעידות על רמתם המתמטית של הבבלים, כמו לוח החרסית פלימפטון 322. חסרונה העיקרי של שיטת הספירה הבבלית, הוא היעדר סימן מיוחד לספרה אפס, שגרם לבבלים להשאיר רווח בכל מקום שבו אמורה להימצא הספרה. חיסרון זה כובל את קריאת המספר הכתוב אל ההקשר שלו.

בעוד שהבבלים והמצרים ראו באריתמטיקה כולה בבחינת מדע שימושי, היוונים פיתחו את האריתמטיקה המחקרית במאה ה-5 לפנה"ס. היוונים השתמשו במערכת אקסיומות כדי לבסס את חישוביהם, והתעניינו במהות הפילוסופית של המספרים. הם מיינו את המספרים לסוגים שונים וחקרו את תכונותיהם הכלליות. היוונים היו הראשונים שהוכיחו כי ישנם אינסוף מספרים ראשוניים; הם סללו את הדרך למציאת הוכחה ל"משפט היסודי של האריתמטיקה" ואף גילו שורשים שהם מספרים אי-רציונליים.

המתמטיקאי היווני דיופנטוס חיבר במאה השלישית את ספרו "אריתמטיקה" שנחשב המקביל האריתמטי-אלגברי ל"יסודות" של אוקלידס. בספר זה הציג דרכים לפתירת מערכת משוואות שמספר הנעלמים בהן גדול ממספר המשוואות ופתרונותיהם הם מספרים שלמים בלבד; משוואות אלה קרויות על-שמו, משוואות דיופנטיות. בזכות יצירה זו מכונה דיופנטוס בשם "אבי האלגברה".

תרבות המאיה, שהשתמשה בשיטת ספירה המתבססת על המספר 20, הביאה עמה את המספר 0 כחידוש רב משמעות. סימונים למקומות "ריקים" היו קיימים עוד קודם לכן, אך ספרת ה-0, במשמעות הקרובה ביותר לזו המוכרת לנו כיום, החלה בשימוש על ידי המאיה.

השיטה העשרונית, שבה אנו משתמשים כיום, שיטה המציגה כל ספרה כסכום של חזקות של 10, החלה את קיומה בהודו. הספרות העשרוניות המוכרות לנו כיום, התפתחו מספרות אלה ועברו שינויים צורניים עד אשר התקבעו במאה החמש-עשרה, בין היתר עקב השפעת מהפכת הדפוס. ההודים פיתחו את כללי החשבון מן התרבות המצרית והתרבות הבבלית וביססו את המספרים השליליים ואת הבדלת ערכי השורש של מספר חיובי. שיטה זו אומצה בהמשך על ידי התרבות הערבית אשר פיתחה את אופן כתיבת הספרות לצורתן הנוכחית. לאונרדו מפיזה (הידוע גם בשם פיבונאצ'י) העביר את השיטה ההודית-ערבית לאירופה, באמצעות ספרו הנודע "ספר החשבונייה", שנכתב ב-1202.

במהלך ימי הביניים חוותה המתמטיקה בכללותה עצירה מסוימת בפיתוחה. בימי הרנסאנס שב הפיתוח המתמטי לאירופה בכללותו, ובפרט עיסוק בנושא האריתמטיקה.

הבסיס הבינארי, שבו נעשה שימוש בשני סימנים בלבד - 0 ו-1, פותח במאה השבע-עשרה על ידי לייבניץ ונכנס לשימוש מעשי בעיקר עם התפתחות האלקטרוניקה הספרתית, בעיקר בזכות תרומתו של קלוד שאנון. עם התפתחות המחשוב, נכנס בסיס זה לשימוש גם במחשב, אך עקב היותו מסורבל לשימושם של בני האדם, הממשק בין האדם למחשב נעשה בשיטה העשרונית, ומומר על ידי המחשב לבסיס בינארי לשם פעולתו הפנימית. במקביל נכנסו לשימוש בתחום המחשוב שיטות ספירה שבסיסיהן הם חזקות טבעיות של 2 - בסיס אוקטלי ובסיס הקסדצימלי.

עם התפתחות המתמטיקה המודרנית, קיבלה המילה "אריתמטיקה" משמעויות נרחבות יותר מאשר "הענף העוסק בפעולות חשבוניות", ובאריתמטיקה המודרנית נכללים תחומים רבים בתורת המספרים, כגון תבניות ריבועיות ועקומים אלגבריים מסובכים יותר (ובפרט עקומים אליפטיים).