הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם הן בעיות בנייה שנוסחו על ידי היוונים הקדמונים, והעסיקו מתמטיקאים במשך מאות שנים. הבעיות הן:

את כל הבניות יש לבצע במסגרת כללי המשחק של הגאומטריה, כלומר באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד.

רק במאה התשע-עשרה הושם קץ לניסיונות לפתור בעיות בנייה אלה, כאשר הוכח בעזרת תורת גלואה שהן לא פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של הגאומטריה.

כמוצא זמני מחוסר היכולת לפתור בעיות אלה בכלים המצומצמים של הבנייה הגאומטרית (סרגל ומחוגה), המציאו היוונים כלים משוכללים המאפשרים את ביצוע הבנייה הנדרשת.

בעיה נודעת נוספת, בעלת אופי שונה והשפעה מרחיקת לכת על הגאומטריה העתיקה והמודרנית, היא הבעיה של הוכחת אקסיומת המקבילים, האקסיומה החמישית של אוקלידס, מתוך האקסיומות האחרות.

הכפלת נפחה של קובייה

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – הכפלת הקובייה

על פי האגדה, בשנת 430 לפנה"ס השתוללה באתונה מגפת דבר קשה. כאשר נשאל האורקל שבמקדש אפולו שבעיר דלפי כיצד לעצור את המגפה, ענה: הכפילו את נפח המזבח לאפולו. מזבח זה היה בצורת קובייה. האתונאים בנו מזבח חדש שאורך צלעו כפול מזה של המזבח הקיים. משלא נפסקה המגפה הבינו האתונאים את טעותם: נפח המזבח החדש היה גדול פי שמונה (שתיים בחזקת שלוש) מנפח המזבח המקורי. כך נולדה הבעיה הראשונה: כיצד לבנות קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה. ליתר דיוק: כאשר נתונה צלע של קובייה, לבנות צלע של קובייה שנפחה כפול.

היפוקרטס מחיוס ניסח מחדש את הבעיה, כך שנדרשת מציאת שני ממוצעים גאומטריים עוקבים המשתלבים בין קטע נתון ובין קטע כפול באורכו. הוא ומנכמוס הראו שאפשר לפתור בעיה זו על ידי חיתוך פרבולה והיפרבולה, או שתי פרבולות כמו ו- .

במאה השנייה לפני הספירה הראה דיוקלס כיצד להכפיל את הקוביה באמצעות ה ציסואידה. ניוטון השתמש לצורך כך ב עקום החלזון של פסקל, ה-limacon.

הכפלת הקוביה דורשת בניה של קטע שאורכו , והיום ידוע שזה מספר שאינו ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה. לכן לא ניתן להכפיל את הקובייה בעזרת סרגל ומחוגה בלבד.