המרחב המשיק

Incomplete-document-purple.svgיש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.
המרחב המשיק ווקטור משיק , לאורך עקומה העוברת בנקודה

המרחב המשיק בגאומטריה דיפרנציאלית הוא מרחב וקטורי שנבנה על יריעה חלקה ומתפקד כ"קירוב לינארי" של אותה יריעה באופן מקומי, במובן זה, שהוא מתאר את הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם על היריעה. לכל נקודה על היריעה יש מרחב משיק משלה שמסומן ב אבל הואיל וכל המרחבים המשיקים הם מרחבים וקטורים באותו ממד, הם איזומורפיים זה לזה.

הגדרה

הגדרה על ידי נגזרות כיווניות

במרחב האוקלידי למונח "הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם מהנקודה" יש פירוש אינטואיטיבי כמרחב כל הנגזרות הכיווניות בנקודה. זהו מרחב וקטורי שאיזומורפי למרחב האוקלידי עצמו (על ידי האיזומורפיזם הטבעי שמעביר את הנגזרת הכיוונית לפי הווקטור v לווקטור v עצמו). את מרחב הנגזרות הכיוונות בנקודה p ניתן להציג כאוסף של פונקציונלים:

משמעות התנאי היא ש-v הוא פונקציונל לינארי על מרחב הפונקציות החלקות (), שמקיים בנוסף ללינאריות תנאי גזירה מסוים (שלעתים מכונה "כלל לייבניץ") לגבי הפעולה שלו על מכפלה. אוסף זה מכונה המרחב המשיק בנקודה p ואיבריו מכונים וקטורים משיקים. ניתן לראות מההגדרה של האוסף שהוא מרחב לינארי ומקיים, לפי כלל לייבניץ, שלכל וקטור משיק , כלומר כל הווקטורים המשיקים מתאפסים על פונקציות קבועות.

ההצגה הזו שנראית אולי מסורבלת במרחב האוקלידי מאפשרת ליצור הכללה ליריעות דיפרנציאליות כלליות בצורה טבעית ביותר- ביריעה M המרחב המשיק בנקודה p, הוא האוסף הבא:

כאשר הוא אוסף הפונקציות החלקות על היריעה M. כמו במרחב האוקלידי זהו מרחב וקטורי בעל ממד ששווה לממד היריעה.

אם מערכת קואורדינטות מקומיות בנקודה p אז הווקטורים המשיקים הם בסיס למרחב המשיק בנקודה (כאשר הם מוגדרים ו- ti הוא הציר ה-i-י במערכת הצירים ב- ).

ביריעות שגזירות רק k פעמים (כלומר שלכל שתי מפות הפונקציה גזירה k פעמים אבל לא בהכרח חלקה) ההגדרה הנ"ל יכולה ליצור מרחב מממד אינסופי ולכן מגדירים את המרחב המשיק ביריעות האלו כמרחב שנפרש על ידי הווקטורים המשיקים שמוגדרים באותה צורה.

הגדרה על ידי מסילות חלקות

ניתן להגדיר את המרחב המשיק מכיוון יותר גאומטרי: אם נלך לאורך קו מסוים על היריעה (שניתן על ידי עקומה חלקה) וניקח פונקציה חלקה כלשהי, אז לאורך אותו עקום הפונקציה החלקה הזו תיוצג כפונקציה ממשית במשתנה אחד. את הפונקציה הזו אפשר לגזור בצורה הרגילה וכך לראות איך היא משתנה לאורך אותו קו (גדלה, קטנה וכו').
באופן פורמלי: תהי עקומה חלקה. נגדיר את הווקטור המשיק ל- בנקודה (על ידי הפעולה שלו על פונקציה חלקה):

.

זהו וקטור משיק (לפי ההגדרה הקודמת- כלומר פונקציונל לינארי שמקיים את כלל לייבניץ). יתר על כן- כל וקטור משיק ניתן להצגה כמשיק של עקום חלק כלומר זו הגדרה שקולה להגדרה הקודמת של המרחב המשיק.