הפרדוקסים של זנון

הפרדוקסים של זנון הם פרדוקסים שחיבר הפילוסוף היווני זנון מאליאה שחי במאה החמישית לפני הספירה. פרדוקסים אלו עוסקים בתנועה, בזמן ובמרחב ובעיקר בבעיית האינסופיות שלהם. כל אחד מפרדוקסים אלה מציג "הוכחה" הסותרת את המציאות הגלויה לעין, ובא לתמוך בגישתו של פרמנידס לפיה אל לנו לסמוך על החושים המטעים אותנו. בין פרדוקסים אלה מוכרים בעיקר: פרדוקס אכילס והצב, פרדוקס הדיכוטומיה ופרדוקס החץ הנע.

זנון ובני תקופתו לא הציגו פתרונות לפרדוקסים אלה, והם העסיקו את הפילוסופים של ימי הביניים. פתרון מסוים לפרדוקסים של זנון נמצא בביסוס התאורטי של מושג האינסוף, החל מהמאה ה-17. בעוד שהפרדוקסים מתארים את המציאות במונחים טבעיים ומשכנעים, פתרונותיהם המתמטיים המודרניים מנוסחים במונחים מורכבים ולא אינטואיטיביים.

פרדוקס אכילס והצב

אכילס

הפרדוקס מתאר תחרות ריצה בין הלוחם האגדי, אכילס, לבין צב: אכילס רץ במהירות 10 מטרים לשנייה, פי עשרה מהר יותר מן הצב ולכן הוא מחליט להתחשב בצב ונותן לו יתרון של 100 מטרים בתחילת התחרות. מניסיון החושים ברור שאכילס יעבור את הצב תוך זמן קצר, אך לטענתו של זנון – בתנאים אלה אכילס לעולם לא ישיג את הצב.

הסיבה לכך היא שבזמן שאכילס יעבור את 100 המטרים הראשונים ויגיע אל נקודת ההתחלה של הצב, הצב יתקדם עוד 10 מטרים, ולכן הוא עדיין יקדים את אכילס. כאשר אכילס ימשיך ויעבור את 10 המטרים הנוספים, הצב כבר יעבור עוד מטר, ושוב יקדים אותו. וכך הלאה, עד שאכילס מגיע לנקודה בה היה הצב קודם, הצב כבר מתקדם לנקודה רחוקה יותר. לכן, אכילס ילך ויתקרב אל הצב, אך לעולם לא יוכל להשיג אותו.

פרדוקס זה עומד, כאמור, בסתירה לידוע לנו – אכילס ישיג את הצב תוך זמן קצר. יתר על כן, פתרון משוואה אלגברית פשוטה ייתן כי לאחר שניות אכילס ישיג את הצב:

אכילס: מהירות - V = 10 meters/second, נקודת התחלה: X0 = 0.

צב: מהירות - V = 1 meters/second, נקודת התחלה: X0 = 100.

משוואות מקום כפונקציה של זמן:

אכילס: X(achilles)=X0+VT=10T

צב: X(tortoise)=X0+VT=100+T

מציאת הזמן (T), שעבורו אכילס והצב נמצאים באותו המקום (X):

X(tortoise) = X(achilles) .1
2. 100+T*10=T
3. T =

הפתרון של החשבון האינפיניטסימלי לפרדוקס הוא שלמעשה המרחק שאכילס יעבור, אותו תיאר הפרדוקס במספר אינסופי של שלבים, יכול להיות סופי, וכך גם הזמן הכולל שייקח לאכילס לבצע את אינסוף השלבים. במהלך כל שלב, הדרך אותה עובר אכילס הולכת וקטנה ובאותה מידה גם הזמן שלוקח לו לעבור אותה.

הפרדוקס מחלק את הריצה של אכילס למספר אינסופי של שלבים שונים שגודלם הוא סדרה גאומטרית. המרחק הראשון אותו עבר אכילס הוא 100 מטרים (במשך 10 שניות), ובזמן זה עבר הצב 10 מטרים, המרחק השני אותו עבר אכילס הוא 10 מטרים (עשירית מהמרחק הקודם, במשך שנייה אחת), ובזמן זה עבר הצב מטר אחד, המרחק השלישי אותו עבר אכילס הוא מטר אחד (במשך עשירית שנייה), ובזמן זה עבר הצב 10 ס"מ, וכך הלאה, כל איבר בסדרה הוא 1/10 מקודמו. בכלים בסיסיים של החשבון אינפיניטסימלי ניתן להראות שהטור שמתאר סדרת הזמנים מתכנס למספר סופי שהוא שניות. לאחר זמן זה אכילס והצב יהיו באותו מקום, ובצעד הבא ישיג אכילס את הצב.

ההסבר לפרדוקס הוא שאנו מסתכלים על המערכת בזמן שמתכנס ל- שניות ובזמן זה לעולם לא נראה את אכילס עוקף את הצב. ככל שהמרחקים קצרים, כך גם הזמן קצר.