השערת גולדבך

השערת גולדבך היא השערה בתורת המספרים, שלפיה כל מספר זוגי גדול מ-2 ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים.

היסטוריה

מקור הבעיה במכתב ששלח המתמטיקאי הפרוסי כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר בשנת 1742, ובו הציג את ההשערות הבאות: כל מספר N שאפשר להציג כסכום של שני ראשוניים, אפשר להציג גם כסכום של שלושה, ארבעה, ועד N ראשוניים (לרבות המספר 1, שבדרך-כלל אינו נחשב ראשוני); וכמו כן, כל מספר אפשר לכתוב כסכום של שלושה ראשוניים. על ההשערה הראשונה העיר אוילר שהיא נובעת מהשערה שהציג לו גולדבך במכתב קודם (שנוסחו המדויק לא נשמר), ולפיה כל מספר זוגי הוא סכום של שני ראשוניים.

אם אין כוללים את 1 במניין הראשוניים, להשערה על הצגת מספר טבעי כסכום של שלושה ראשוניים יש שני מרכיבים: השערת גולדבך (כפי שנוסחה לעיל) עבור מספרים זוגיים, והאפשרות להציג כל מספר אי-זוגי כסכום של שלושה ראשוניים (או כסכום כאשר p ראשוני אי-זוגי, או כסכום של שלושה ראשוניים אי-זוגיים). ההנחה שלפיה כל מספר אי-זוגי הוא סכום של שלושה ראשוניים אי-זוגיים ידועה בשם הגרסה החלשה של השערת גולדבך. השערת גולדבך גוררת את הגרסה החלשה, משום שאפשר להציג כל מספר אי-זוגי כסכום של הראשוני 3, ועוד מספר זוגי.

השערת גולדבך נבדקה באמצעות מחשב ונמצאה נכונה לכל מספר עד . ההערכה המקובלת היא שההשערה נכונה, בהתבסס על התפלגותם של המספרים הראשוניים: ככל שמספר זוגי גדול יותר, כך סביר יותר שניתן להציגו כסכום של שני ראשוניים. זו כמובן אינה הוכחה.