חשבון אינפיניטסימלי

חשבון אִינְפִינִיטֶסִימָלִי (נקרא גם חדו"א, ראשי תיבות של: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי; באנגלית: Calculus - קלקולוס; במונחי האקדמיה ללשון העברית: חֶשְׁבּוֹן-הָאֵינְסוֹפִיִּים) הוא ענף של המתמטיקה שחוקר שינוי. התחום מבוסס רובו ככולו על המושג גבול שמאפשר לעסוק בתוצאה של תהליכים אינסופיים. על בסיס רעיון הגבול נבנים ונחקרים מושגי יסוד כגון סדרה, סכום אינסופי, רציפות, נגזרת ואינטגרל. תחילתו של הענף בעבודותיהם של אייזק ניוטון ושל גוטפריד וילהלם לייבניץ, אם כי קדמו להם, בצעדים ראשונים לקראת תחום זה, ארכימדס, בארו, דקארט, פרמה והויגנס.[1]

על בסיסו של החשבון האינפיניטסימלי בנוי ענף האנליזה המתמטית שעוסקת ביישום כלים מהחשבון האינפיניטסימלי במגוון רחב של עיסוקים מתמטיים. מעבר לכך, לחשבון האינפיניטסימלי חשיבות מכרעת בכל תחומי המדע בייחוד בפיזיקה, וכן בהנדסה, כלכלה ותחומים נוספים.

עיקרי החשבון האינפיניטסימלי

לחשבון האינפיניטסימלי שני ענפים עיקריים:

  • חשבון דיפרנציאלי: עוסק בחישוב השיעור הרגעי של השינוי (הנגזרת) בערכי פונקציה בהתאם לשינוי בערכי המשתנים. חישוב הנגזרת מאפשר לקבוע את המשיק לפונקציה בכל נקודה, את המעבר מפונקציה המתארת מהירות לזו המתארת תאוצה ועוד. החשבון הדיפרנציאלי מאפשר את פיתוחם של קירובים דוגמת טור טיילור ושיטת ניוטון-רפסון.
  • חשבון אינטגרלי (במונחי האקדמיה ללשון העברית: חשבון אִסְכּוּם): עוסק בדרכים לחישוב האינטגרל של פונקציה. חישוב האינטגרל מאפשר לחשב את השטח הכלוא מתחת לעקום, וכן לחשב את שטח הפנים והנפח של גופים שונים.

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע שגזירה (חישוב הנגזרת) ואינטגרציה (חישוב האינטגרל) הן פעולות הפוכות זו לזו. תגלית זו של ניוטון ולייבניץ (בנפרד, וכמעט באותו זמן) הביאה לשלל תוצאות לאחר שעבודותיהם התפרסמו.

מהחשבון האינפיניטסימלי התפתחו ענפי מתמטיקה נוספים: משוואות דיפרנציאליות, אנליזה וקטורית, טופולוגיה דיפרנציאלית ותורת המידה. לחשבון האינפיניטסימלי שימוש נרחב בפיזיקה ובהנדסה.