יעקוביאן

מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם

באנליזה וקטורית, יעקוביאן הוא הדטרמיננטה של מטריצת יעקובי. הן ליעקוביאן והן למטריצת יעקובי חשיבות רבה כאשר עוסקים בהעתקות וקטוריות ותכונותיהן.

מטריצת יעקובי משמשת לתיאור הדיפרנציאל של העתקה וקטורית. מושג זה מכליל את מושג הנגזרת הקיים עבור פונקציות סקלריות במשתנה יחיד. היעקוביאן משמש לתיאור ההתנהגות של העתקה, ואי התאפסותו הוא תנאי מספיק על מנת שההעתקה תקיים מספר תכונות מקומיות של חד חד ערכיות, הפיכות והעתקה של קבוצות פתוחות לקבוצות פתוחות. כמו כן היעקוביאן נותן מדד לשינוי של גדלים במרחב כאשר משתמשים בהחלפת קוארדינטות.

היעקוביאן ומטריצת יעקובי נקראים על שם המתמטיקאי קרל גוסטב יעקב יעקבי.

הגדרה פורמלית

תהא פונקציה כלשהי שכל הנגזרות החלקיות שלה קיימות. אז מטריצת יעקובי שלה היא המטריצה מסדר הבאה:

כלומר, בכל שורה מופיעות כל הנגזרות החלקיות של אחת מפונקציות הרכיבים. ניתן לראות זאת גם כך: מטריצת יעקובי היא וקטור עמודה שמכיל את הגרדיאנטים של הרכיבים שלו (כלומר, כל שורה היא גרדיאנט).

היעקוביאן הוא הדטרמיננטה של המטריצה הזו, במקרה שבו (זאת מכיוון שדטרמיננטה מוגדרת רק עבור מטריצות ריבועיות). לרוב מסומנת מטריצת יעקובי כך:

Other Languages
беларуская: Матрыца Якобі
català: Jacobià
Deutsch: Jacobi-Matrix
Esperanto: Jakobia matrico
español: Jacobiano
íslenska: Jacobi-fylki
日本語: ヤコビ行列
한국어: 야코비 행렬
Nederlands: Jacobi-matrix
português: Matriz jacobiana
slovenščina: Jacobijeva matrika
српски / srpski: Јакобијан
svenska: Jacobimatris
українська: Матриця Якобі
Tiếng Việt: Ma trận Jacobi