ממוצע הרמוני

במתמטיקה ממוצע הרמוני הוא סוג של ממוצע. הוא בדרך כלל משמש למיצוע של קצבי שינוי (rates).

הממוצע ההרמוני של מספרים ממשיים חיוביים הוא:

כלומר, זהו ההופכי של הממוצע החשבוני של ההופכיים.

קשר לממוצעים אחרים

MathematicalMeans.svg

בנייה גאומטרית של ממוצעים נפוצים (עבור 2 ערכים בלבד): עבור שני קטעים a ו-b, בונים חצי מעגל שקוטרו הוא הקטע הבנוי משני קטעים אלה (a+b).

  • הממוצע החשבוני של אורכי הקטעים a ו-b הוא אורכו של רדיוס המעגל (הקטע A).
  • הממוצע ההנדסי הוא אורכו של האנך לקוטר ממפגש הקטעים a ו-b עד שפת המעגל (הקטע G).
  • הממוצע ההרמוני הוא אורכו של היטל הקטע G על רדיוס המעגל (הרדיוס הנוצר בין חיתוך הקטע G עם שפת המעגל ומרכזו) (הקטע H).

ממוצעים אלו נקראים בהכללה "הממוצעים הפיתגוריים".

  • שורש ממוצע הריבועים הוא אורכו של האלכסון הגדול בין הקטעים A ו-G (הקטע Q).

הממוצע ההרמוני הוא אחד משלושת הממוצעים הפיתגוריים. עבור קבוצות מספרים שמכילות לפחות 2 איברים שונים, הממוצע ההרמוני הוא הקטן ביותר מבין השלושה (בעוד שהממוצע החשבוני הוא הגדול ביותר והממוצע ההנדסי נמצא ביניהם). אם הקבוצה מכילה רק איברים זהים (למשל {2,2,2}), אזי שלושת הממוצעים יהיו שווים (במקרה של הדוגמה לעיל, ל-2).

הממוצע ההרמוני הוא המקרה הפרטי M−1 של ממוצע חזקה.

מאחר שממוצע הרמוני של קבוצת מספרים נוטה לעבר המספר הקטן ביותר שבה, הוא נוטה למזער את ההשפעה של מספרים גדולים ולהגדיל את ההשפעה של מספרים קטנים.

לעתים משתמשים בטעות בממוצע חשבוני במקום שבו צריך להשתמש בממוצע הרמוני.[1] בדוגמת המהירויות המופיעה בהמשך, הממוצע החשבוני 50 הוא שגוי וגדול מידי.

ממוצע הרמוני של 2 מספרים

עבור המקרה הפרטי של שני מספרים ו-, הממוצע ההרמוני שווה ל-

במקרה זה, הממוצע ההרמוני קשור לממוצע החשבוני ולממוצע ההנדסי על ידי הקשר

מכאן נובע ש- . כלומר, הממוצע ההנדסי של 2 מספרים שווה לממוצע ההנדסי של הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני.