מספר סודר

לחצו כדי להקטין חזרה
012345אומגה (מספר סודר)Omega-exp-omega-labeled.svg

לדף הקובץ
תמונה אינטראקטיבית (לחצו להסבר)‏

תצוגה גרפית של כל הסודרים מ-0 עד

בתורת הקבוצות, מספר סודראנגלית: ordinal – אורדינל) הוא טיפוס סדר של קבוצה סדורה היטב.

המוטיבציה להגדרת המספרים הסודרים מגיעה מהרצון להכליל את התכונות המועילות של המספרים הטבעיים. למספרים הטבעיים שני תפקידים עיקריים: הראשון הוא לייצג כמות ("שבעה גמדים") והשני הוא לייצג מקום בסדרה ("הגמד השביעי"). במסגרת תורת הקבוצות מגדירים את המספרים המונים כהכללה של המספרים הטבעיים במובן הראשון, כך שניתן יהיה לייצג גם כמויות אינסופיות. המספרים הסודרים מוגדרים במטרה להכליל את המובן השני כך שניתן יהיה לדבר על איברים במקומות "אינסופיים" בסדרה.

המספרים הסודרים הראשונים הם המספרים הטבעיים 0, 1, 2, 3,.... לאחריהם מגיע הסודר האינסופי הראשון, ω (אומגה). ω מתאפיין בכך שהוא "הסודר הקטן ביותר שגדול מכל מספר טבעי". לאחריו מגיעים הסודרים:

ω + 1, ω + 2, …, ω·2, ω·2 + 1, …, ω2, …, ω3, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, ….

את רעיון המספרים הסודרים הגה לראשונה אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, במסגרת עבודתו על קבוצות נגזרות.

הגדרה

למספרים הסודרים מספר הגדרות. ההגדרה הנפוצה היא:

קבוצה נקראת סודר אם מתקיימים התנאים הבאים:

  1. קבוצה טרנזיטיבית.
  2. סדורה היטב ב יחס השייכות. (כלומר, הצמצום של יחס השייכות ל- הוא סדר טוב)

התכונה הראשונה שמופיעה מאפשרת הגדרת סדר בין סודרים: עבור סודרים . סדר זה הוא סדר טוב.

הגדרת פעולת העוקב: .

סודר ייקרא סודר עוקב, אם קיים סודר אחר כך שמתקיים , וסודר גבולי אחרת (לעתים לא מתייחסים ל-0 כאל סודר גבולי מטעמי נוחות).
סודר מונה (לעתים נקרא "סודר פותח") הוא סודר שאינו שווה-עוצמה לאף סודר קטן יותר.

אקסיומת היסוד מבטיחה שאם קבוצה טרנזיטיבית סדורה קווית ביחס השייכות, אז היא סדורה היטב באותו יחס.