מערכת אורתונורמלית שלמה

במתמטיקה, מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב מכפלה פנימית (ובפרט במרחב הילברט) היא קבוצה של וקטורים שקבוצת האיברים הנפרשים על ידה היא צפופה במרחב, ושאיבריה הם אורתוגונליים זה לזה, כלומר מכפלתם הפנימית היא 0, והם מנורמלים, כלומר כל אחד הוא בעל נורמה 1 (וקטורים כאלה נקראים "וקטורי יחידה").

נוח להשתמש במערכות אורתונורמליות שלמות מכיוון שהן מאפשרות תיאור של כל איבר במרחב בתור צירוף לינארי (לא בהכרח סופי) של איברים מתוך המערכת האורתונורמלית, שאיבריה הם פשוטים יחסית. דוגמה לשימוש זה היא פיתוח לטור פורייה, שמהווה תיאור של פונקציה במרחב מסוים של פונקציות באמצעות מערכת אורתונורמלית במרחב.

לעתים גם קוראים למערכת אורתונורמלית שלמה בסיס אורתונורמלי. במרחבים וקטוריים מממד סופי, מערכת אורתונורמלית שלמה מהווה בסיס למרחב, שאבריו הם וקטורים אורתנורמלים. ברם, במרחבים שאינם מממד סופי, מערכת אורתונורמלית שלמה אינה בסיס במובן הרגיל של בסיס באלגברה לינארית. זאת מכיוון שלא ניתן להציג כל איבר במרחב בתור צירוף לינארי סופי של איברים מתוך המערכת האורתונורמלית, אלא רק להתקרב אליו כרצוננו (זהו פירושה של צפיפות קבוצת האיברים הנפרשים על ידי המערכת האורתונורמלית). נהוג לכנות בסיסים במובן הרגיל של האלגברה הלינארית בשם בסיס המל, אך הם שימושיים הרבה פחות מאשר מערכות אורתונורמליות שלמות במרחבים מממד אינסופי.

הגדרות

הגדרה 1: יהא מרחב הילברט כלשהו. תהא קבוצת וקטורים ( היא קבוצת אינדקסים) כך שמתקיימות שתי התכונות הבאות:
  1. לכל מתקיים . כלומר, כל שני איברים ניצבים זה לזה.
  2. לכל מתקיים . כלומר, הנורמה של כל איבר היא 1.
אז נאמר שהקבוצה היא מערכת אורתונורמלית.

הערה: את שני התנאים שלעיל ניתן לסמן בקצרה בעזרת הדלתא של קרונקר: .

הגדרה 2: אם מערכת אורתונורמלית היא מקסימלית, כלומר לא קיימת מערכת אורתונורמלית שונה ממנה המכילה אותה, נאמר שהמערכת האורתונורמלית שלמה.

תנאי זה שקול לכך שהאיבר היחיד שיהיה ניצב לכל אברי המערכת האורתונורמלית הוא 0, שכן אם איבר אחר ניצב למערכת ניתן לנרמל אותו ולהוסיף אותו אליה, ובכך לקבל מערכת גדולה יותר.