משוואת הגלים

משוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני שמתארת באופן כללי את התנהגותם של גלים שונים. הצורה הכללית של המשוואה היא:

זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה:

  • הוא המקום במרחב.
  • הוא הזמן.
  • הפונקציה היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.
  • היא מהירות התקדמות הגל.
  • הוא האופרטור לפלסיאן.

משוואה זו אינה משוואת הגלים היחידה, אלא רק הנפוצה והפשוטה ביותר. משוואה זו מתארת גלים עם יחס נפיצה לינארי, וללא איבודי אנרגיה. דוגמאות נפוצות לגלים כאלה הם גלים אלקטרומגנטיים בריק או תנודות של מיתר מתוח. לגלים אחרים, כגון גלי קול, גלי מים, או תנודות בסריג (כמו פונונים) יש משוואות אחרות.

משוואת הגלים החד-ממדית

עבור גל חד ממדי המשוואה היא:

כאשר הוא המקום במרחב החד ממדי.

פתרון כללי של המשוואה נתגלה על ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר והוא:

כאשר F,E הן פונקציות כלשהן. F מייצג גל שנע עם כיוון ציר ה-x ואילו E מייצג גל שנע בכיוון ההפוך. על ידי חישוב פשוט ניתן לראות שפתרון זה תקף לכל זוג פונקציות F,E (גזירות פעמיים ברציפות), וגם הכיוון ההפוך נכון: כל פתרון של משוואת הגלים ניתן להצגה בצורה זו.

פתרון שהוא גל מחזורי ניתן להצגה באמצעות הפתרונות הבסיסיים:

כאשר הוא מספר גל כלשהו (ביחידות של אחד חלקי מרחק) והתדירות הזוויתית היא .