נקודת אי רציפות

באנליזה מתמטית, נקודת אי רציפות של פונקציה היא נקודה, שבה הפונקציה אינה רציפה. כלומר, הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה זו (הנקודה אינה נמצאת בתחום הגדרתה), או שהיא מוגדרת, אך ערכי הפונקציה בסביבתה של הנקודה לא מתקרבים אל ערכה בנקודה עצמה. נהוג לחלק את נקודות אי הרציפות לשלושה סוגים, על פי גבול הפונקציה בנקודת אי הרציפות.

הגדרה פורמלית

תהא פונקציה ותהא נקודה. נאמר כי היא נקודת אי רציפות של אם (ייתכן כי כלל לא מוגדר). ניתן לחלק את אי הרציפות לשלושה סוגים:

  1. אי רציפות סליקה: בנקודה קיימת אי רציפות סליקה, אם הגבול קיים. אי רציפות כזו נקראת "סליקה", שכן אפשר "לתקן" את הפונקציה על ידי הגדרת , וכך תתקבל פונקציה שרציפה בנקודה .
  2. אי רציפות מהסוג הראשון ("קפיצה"): בנקודה קיימת אי רציפות מהסוג הראשון, אם הגבול אינו קיים, אך קיימים שני הגבולות בסביבות חד-צדדיות שלה. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד וקיימים ושונים זה מזה הגבולות , אזי יש לפונקציה בנקודה אי רציפות מסוג ראשון.
  3. אי רציפות מהסוג השני ("עיקרית"): בנקודה קיימת אי רציפות מהסוג השני, אם לפחות אחד משני הגבולות בסביבות חד-צדדיות שלה לא קיים. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד ולפחות אחד מן הגבולות אינו קיים (אינו ערך ממשי), אזי יש לפונקציה בנקודה אי רציפות מהסוג השני.