פאי

הגדרה בסיסית של פאי
פאי שווה להיקף של מעגל שקוטרו 1 (ורדיוסו ½)

במתמטיקה, אות היוונית פִּי, או פַּאי לפי ההגייה האנגלית) הוא מספר טהור המייצג את היחס הקבוע (בגאומטריה האוקלידית) בין היקף המעגל לקוטרו. הוא קבוע מתמטי שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה ובפיזיקה. כבר בזמן הקדום ניסו אנשים לקבוע את היחס בין היקף המעגל לקוטרו. המתמטיקאי היווני אנטיפון, הציע את שיטת החישוב בערך בשנת 430 לפנה"ס, ומאוחר יותר שכלל אותה ארכימדס.

הערך מסומן באות היוונית משום שהוא משמש לחישוב היקף מעגל: האות היא הראשונה במילה היוונית "περίμετρος" (פרימטרוס) שמשמעותה היקף. לראשונה השתמש בסימון זה המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס בחיבורו "תצפית הישגי המתמטיקה" ("Synopsis Palmariorum Matheseos" או "a New Introduction to the Mathematics") שכתב בשנת 1706.

הוא מספר טרנסצנדנטי. 100 הספרות הראשונות של הייצוג העשרוני של המספר הן:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק בקירוב 3.14.

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

תכונות

הוא מספר אי-רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה כיחס בין שני מספרים שלמים. תכונה זו הוכחה בשנת 1761 על ידי יוהאן היינריך למברט.[1]

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן ממנו נובע ישירות ש־ הוא מספר טרנסצנדנטי.[2] מהוכחה זו נובע ש־ אינו ניתן להצגה תוך שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם יחד עם ארבע פעולות החשבון. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה, לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון – אחת הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.