פולינום

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פולינום במשתנה הוא ביטוי מהצורה כאשר הם קבועים; למשל, . באותו אופן אפשר להגדיר כמובן פולינום בכל משתנה אחר ( הוא פולינום במשתנה ), וגם פולינומים בכמה משתנים, כמו .

פולינום שבו המקדמים הם מספרים ממשיים נקרא פולינום ממשי. באופן כללי יותר, המקדמים עשויים להיות איברים בשדה (או חוג) כלשהו F, ואז מדובר ב"פולינום מעל F".

המחוברים נקראים מונומים. במונום כזה, k היא החזקה או המעריך, והקבוע הוא המקדם. החזקה הגבוהה ביותר המופיעה בפולינום p היא המעלה של הפולינום, ומסמנים אותה ב-. המחובר נקרא המקדם החופשי ו- נקרא המקדם המוביל של הפולינום. אם המקדם המוביל שווה ל-1, אז הפולינום נקרא פולינום מתוקן. לדוגמה, הוא פולינום ממעלה שנייה, שהמקדם המוביל שלו הוא 3.

אם מקדמי הפולינום שייכים לשדה , אז הוא מגדיר פונקציה פולינומית באמצעות הצבה: . למשל, אם אז .

פונקציה מהצורה , כאשר הם פולינומים, נקראת פונקציה רציונלית.

פונקציה פולינומית אפשר לחשב במספר סופי של פעולות חיבור וכפל; משום כך יש לפולינומים (מעל הממשיים או המרוכבים) תפקיד מרכזי בתורת הקירובים.

שורש של פולינום

עמוד ראשיNuvola kdict glass.png
להרחבה בנושא ראו: היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות

שורש (או אפס) של פולינום הוא ערך שעבורו מתקיים . מציאת השורשים של פולינום היא מהבעיות העתיקות ביותר במתמטיקה.

פולינום ממעלה שנייה, כלומר פולינום מהצורה ידוע בשם פולינום ריבועי. שיטה לפתרון משוואה ריבועית הייתה ידועה ליוונים הקדמונים, ואף קודם לכן לבבלים. רק במאה ה-16 נמצאה שיטה לפתרון כללי של משוואה ממעלה שלישית ורביעית: בשנת 1545 פרסם ג'ירולמו קרדאנו ספר שבו ייחס את השיטה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לטרטליה, ואת השיטה לפתרון משוואה ממעלה רביעית יחס לתלמידו (של קרדאנו), לודוביקו פרארי. בתחילת המאה ה-19 הוכיחו נילס הנריק אבל ואווריסט גלואה שאין נוסחה כללית לשורש של פולינום שמעלתו גדולה מ-4, באמצעות פעולות השדה (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) וחישוב רדיקלים (כלומר, הוצאת שורש מכל סדר).

לכל פולינום ממעלה אי זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי, כפי שניתן לראות מיידית ממשפט ערך הביניים. לפולינומים ממעלה זוגית, כגון , אין שורש ממשי, אך תמיד יש שורש מרוכב. לפי המשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה יש בדיוק שורשים (לרבות חזרות) בשדה המספרים המרוכבים.

פולינום במקדמים רציונליים

כאשר המקדמים של הפולינום הם מספרים רציונליים, שורשיו נקראים מספרים אלגבריים. מספר טרנסצנדנטי (כמו פאי) הוא מספר כזה שאינו שורש של אף פולינום שמקדמיו רציונליים.

את הפתרונות הרציונליים של פולינום במקדמים שלמים אפשר למצוא באמצעות המשפט הבא: יהי פולינום שכל מקדמיו שלמים. נניח ש מספר רציונלי שהוא שורש של הפולינום . אזי מתקיים: מחלק את ו- מחלק את .

המשפט מספק קבוצה סופית של פתרונות אפשריים, שאותם ניתן לבדוק בהצבה ישירה.