תבנית בילינארית

תבנית בילינארית היא פונקציה בשני משתנים , כאשר V מרחב וקטורי מעל שדה הבסיס F, שהיא לינארית בכל אחד משני המשתנים שלה.

תבנית בילינארית מגדירה את התבנית הריבועית . מעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אפשר להציג כל תבנית ריבועית על ידי תבנית בילינארית סימטרית, ולשחזר את התבנית הבילינארית מן התבנית הריבועית על ידי הזהות הפולרית . מסיבה זו, במאפיין שונה מ-2, התאוריה של תבניות בילינאריות סימטריות זהה למעשה לזו של תבניות ריבועיות. במאפיין 2 המושגים קרובים מאד, אך יש ביניהם הבדלים חשובים.

מבוא

יהיו F שדה, ו-V מרחב וקטורי מעל F. הפונקציה היא בילינארית אם לכל הפונקציות ו- הן פונקציונלים לינאריים , כלומר שומרות על החיבור ועל הכפל בסקלר.

הדוגמה החשובה ביותר לתבנית בילינארית היא מכפלה פנימית מעל שדה המספרים הממשיים (מכפלה פנימית מעל שדה המרוכבים היא תבנית הרמיטית).

אפשר להכליל את ההגדרה גם לפונקציות (כאשר V,W מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה), אם כי בדרך כלל המרחבים V,W שווים או דואליים זה לזה. המונח אופרטור בילינארי מכסה העתקות ממכפלה של שני מרחבים וקטוריים למרחב שלישי, עם ההכללה הטבעית למודולים.