תורת הקבוצות הנאיבית

תורת הקבוצות הנאיבית הוא שמה של גישה אלמנטרית לתורת הקבוצות, שאותה פיתח גאורג קנטור בסוף המאה ה-19. התורה עוסקת במושג הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים, והיא מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה, כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף. תורת הקבוצות המודרנית מבוססת על גישה אקסיומטית מדוקדקת (ראו אקסיומות צרמלו-פרנקל). הטיפול במושג הקבוצה באופן ישיר קרוי "תורת הקבוצות הנאיבית".

תולדות תורת הקבוצות

את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור ב-1870, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים, שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור - בגרמנית), בכתב-העת "Mathematische Annalen". הגדרתו של קנטור לקבוצה הייתה:[1]

"בשם קבוצה נקרא כל צירוף של עצמים מסוימים ומובדלים המצורפים לחטיבה אחת; העצמים אשר מקורם בהסתכלות (בנסיון) או במחשבה, נקראים איברי הקבוצה."

על הגדרה זו העיר אברהם הלוי פרנקל:[1]

"יש לראות את הגדרת קנטור כביאור בעלמא. הרבותא שבביאור זה נמצאת בכלליותו, ללא כל הגבלה בהיקף הקבוצה ובמהות איבריה. תקפה זה של הגדרת הקבוצה הוא מקום תורפתה."

בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים, שנבעו מהיותה מתירנית מידי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרון בעיות אלה פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, ובעקבות צעד זה, תורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת תורת הקבוצות הנאיבית. תורת הקבוצות הנאיבית עוֹדֶנָה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה, ומרבית רעיונותיה נכונים גם בגרסה האקסיומטית.